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Écriture de la page : Sylvain Mahé

En électronique numérique embarquée qui met en œuvre des calculateurs programmables, et plus largement en programmation générale C++ (le langage utilisé pour écrire les fonctions énoncées ici), la logique pure est généralement accompagnée de calculs arithmétiques pour mener à bien la plupart des projets. Pour se faire, les calculateurs utilisés (soit les microcontrôleurs) sont équipés chacun d'une unité arithmétique et logique, partie du circuit intégré dédiée à de telles opérations, mais ce matériel ne permet pas d'effectuer des opérations arithmétiques autres que les calculs élémentaires, soit les additions, les soustractions, les multiplications, ou les divisions : Comprendre que des opérations plus complexes comme par exemple sinus ou cosinus (que l'on retrouve habituellement dans les calculatrices modernes), ne sont pas câblées dans ce type de circuit intégré (comme c'est le cas dans la majorité des microcontrôleurs). En conséquence, les opérations mathématiques plus élaborées doivent être écrites manuellement lors de la programmation logicielle, ceci en utilisant un certain nombre d'instructions logiques de base (structures conditionnelles, comparaisons, décalages) et d'instructions arithmétiques simples (additions, soustractions, multiplications, et divisions), seules disponibles dans les architectures matérielles des microcontrôleurs. Cette recherche et construction logicielle effectuée, toutes les opérations (dont les ensembles constituent les algorithmes) qui œuvrent dans le fonctionnement intime de sinus ou cosinus (pour reprendre l'exemple) peuvent pour une question pratique de lisibilité et portabilité du programme être encapsulées dans des fonctions autonomes dédiées, autrement-dit regroupées dans des blocs de code distincts contenant chacun toutes les opérations nécessaires à leur fonctionnement interne, de sorte de pouvoir à posteriori en faire usage facilement en un minimum de lignes de programmation, ceci sans avoir besoin de ressources annexes externes. C'est ce que permet la classe Math. Descriptif des fonctions de la classe Math : - floor : arrondit un nombre décimal à l'entier inférieur.
- round : arrondit un nombre décimal à l'entier le plus proche.
- ceil : arrondit un nombre décimal à l'entier supérieur.
- curve : créé des interpolations linéaires ou non-linéaires de courbes.
- wurve : créé des interpolations linéaires ou non-linéaires symétriques ou dissymétriques de courbes.
- range : cadre une valeur dans un intervalle.
- center : calcule la moyenne de deux valeurs.
- pow : calcule la puissance d'un nombre.
- sqrt : calcule la racine carrée d'un nombre.
- fact : calcule la factorielle d'un nombre.
- sin : trouve le sinus d'un angle.
- cos : trouve le cosinus d'un angle.
- tan : trouve la tangente d'un angle.
- arcsin : trouve l'angle à partir d'un sinus.
- arccos : trouve l'angle à partir d'un cosinus.
- arctan : trouve l'angle à partir d'une tangente.
- arctan2 : trouve l'angle à partir de la tangente de deux arguments x et y. Il est important d'appréhender que les fonctions mathématiques implémentées dans la classe Math ne sont qu'une des façons possibles d'effectuer les calculs et résoudre les fonctions énoncées, ceci dans un certain langage de programmation (le C++), et d'une manière subjective avec une approche et une résolution des problématiques tout à fait singulière et arbitraire, modeste expression partagée libre et ouverte de son auteur. Si vos applications requièrent des fonctions mathématiques qui ne sont pas présentes dans la classe Math, libre à vous d'en ajouter si besoin ! Des calculs complexes en virgule flottante (comprenez en nombres décimaux) sont parfois nécessaires afin de conserver la précision tout au long des opérations arithmétiques. Mais la finalité de ces opérations se retrouveront souvent dans un but de faire fonctionner des systèmes prenant en entrée uniquement des nombres entiers. Il est donc nécessaire d'arrondir le résultat en toute fin du calcul. Exemple pour arrondir un nombre décimal à l'entier inférieur : #include <Math.h> int main() { Math::floor (14.6); //la fonction retourne la valeur 14 return 0; } Dans l'exemple ci-dessus, la fonction statique floor est appelée, elle prend en paramètre 14.6, le nombre décimal à arrondir à l'entier inférieur, et retourne (dans ce cas de figure) le nombre entier 14. Exemple pour arrondir un nombre décimal à l'entier le plus proche : #include <Math.h> int main() { Math::round (23.7); //la fonction retourne la valeur 24 return 0; } Dans cet exemple la fonction statique round est appelée, elle prend en paramètre 23.7, le nombre décimal à arrondir à l'entier le plus proche, et retourne le nombre entier 24. Exemple pour arrondir un nombre décimal à l'entier supérieur : #include <Math.h> int main() { Math::ceil (5.12); //la fonction retourne la valeur 6 return 0; } Ici la fonction statique ceil est appelée, elle prend en paramètre 5.12, le nombre décimal à arrondir à l'entier supérieur, et retourne le nombre entier 6. Avec les fonctions de courbes que je propose il est très simple de changer des valeurs d'échelle, soit l'interpolation de courbes vers d'autres domaines linéaires ou non-linéaires, de façon symétrique ou dissymétrique. Exemple pour créer une interpolation linéaire d'une courbe : #include <Math.h> int main() { Math::curve (-25, 50, 100, 1, 10, 0); //la fonction retourne la valeur 6.4 return 0; } Dans l'exemple ci-dessus, la fonction statique curve est appelée prenant plusieurs paramètres :
- Le 1er paramètre -25 est le point initial de la courbe.
- Le 2ème paramètre 50 est le point courant de la courbe.
- Le 3ème paramètre 100 est le point final de la courbe.
- Le 4ème paramètre 1 est le point initial de l'interpolation souhaitée.
- Le 5ème paramètre 10 est le point final de l'interpolation souhaitée.
- Le 6ème paramètre 0 défini le type d'interpolation (0 = linéaire) à partir du point initial vers le point final. Le résultat du calcul est 6.4. À noter que les valeurs indiquées en paramètre peuvent indifféremment être positives ou négatives et inférieures ou supérieures les unes par rapport aux autres, la fonction statique curve est prévue à cet effet. Exemple pour créer une interpolation non-linéaire d'une courbe : #include <Math.h> int main() { Math::curve (-25, 50, 100, 1, 10, 40); //la fonction retourne la valeur ≈ 1.317 (valeur arrondie) return 0; } L'exemple est identique au précédent, sauf le 6ème paramètre 40 (différent de 0 donc non-linéaire) qui permet une interpolation non-linéaire positive, plus ce nombre est élevé, plus la courbe est prononcée. Un nombre négatif produit une non-linéarité négative, c'est-à-dire non pas une interpolation qui évolue doucement proche du point initial de la courbe, mais plutôt évoluant rapidement proche du point initial pour terminer doucement à l'approche du point final. Le résultat du calcul est maintenant ≈ 1.317 (valeur arrondie). Exemple pour créer une interpolation linéaire dissymétrique d'une courbe : #include <Math.h> int main() { Math::wurve (0, 50, 70, 0, 9, 10, 0, 0); //la fonction retourne la valeur ≈ 9.428 (valeur arrondie) return 0; } Dans l'exemple ci-dessus la fonction statique wurve est appelée, voici le détail des paramètres (similaires à la fonction statique curve) :
- Le 1er paramètre 0 est le point initial de la courbe.
- Le 2ème paramètre 50 est le point courant de la courbe.
- Le 3ème paramètre 70 est le point final de la courbe.
- Le 4ème paramètre 0 est le point initial de l'interpolation souhaitée.
- Le 5ème paramètre 9 est le point central de l'interpolation souhaitée.
- Le 6ème paramètre 10 est le point final de l'interpolation souhaitée.
- Le 7ème paramètre 0 défini le type d'interpolation (0 = linéaire) à partir du point central vers le point initial.
- Le 8ème paramètre 0 défini le type d'interpolation (0 = linéaire) à partir du point central vers le point final. Le résultat du calcul est ≈ 9.428 (valeur arrondie). À l'instar de la fonction statique curve, les valeurs indiquées en paramètre avec la fonction statique wurve peuvent indifféremment être positives ou négatives et inférieures ou supérieures les unes par rapport aux autres. Exemple pour créer une interpolation non-linéaire symétrique d'une courbe : #include <Math.h> int main() { Math::wurve (0, 473, 1023, 1000, 1500, 2000, 20, 20); //la fonction retourne la valeur ≈ 1498.069 (valeur arrondie) return 0; } Ci-dessus la fonction statique wurve prend en entrée la valeur d'un potentiomètre pouvant varier de 0 à 1023, c'est la courbe à interpoler, les valeurs d'interpolation vont de 1000 à 2000 en passant par un centre à 1500, ce centre sert à créer une double courbe non-linéaire centrée sur 1500 ayant des valeurs de 20 (non-linéaire positive) de part et d'autre de ce point central (ou neutre). Le résultat du calcul est ≈ 1498.069 (valeur arrondie). Cette simple expression pourrait servir à transposer un ordre analogique via un potentiomètre (d'intervalle 0 à 1023 après conversion analogique/numérique) vers une modulation de la largeur d'impulsion (d'intervalle 1000 à 2000 microsecondes) dans le but d'asservir un servo-moteur avec la volonté d'augmenter la précision de pilotage autour du neutre. Beaucoup de mes projets utilisent les fonctions de courbes car elles permettent de transposer facilement des valeurs d'un domaine vers un autre. Il peut être utile de solliciter une fonction dédiée lorsque nous souhaitons qu'une valeur ne sorte pas d'un certain intervalle, sans être obligé de rajouter les conditions logiques nécessaires à cette fonctionnalité dans notre programme (si inférieur ou égal à, si supérieur ou égal à, etc...), ce qui permet de diminuer le nombre d'instructions visibles et d'augmenter la lisibilité du code source. Exemple pour cadrer une valeur dans un intervalle : #include <Math.h> int main() { Math::range (-10, 23, 10); //la fonction retourne une valeur qui ne sortira jamais de l'intervalle -10 à 10 return 0; } Dans l'exemple ci-dessus, la fonction statique range limite l'intervalle que peut prendre le nombre 23, ceci dans un cadre -10 à 10. La fonction retourne alors le nombre 10. Les valeurs indiquées en paramètre peuvent indifféremment être positives ou négatives et inférieures ou supérieures les unes par rapport aux autres, la fonction statique range est implémentée à cet effet. De même que la fonction présentée ci-dessus, une fonction pour trouver la moyenne de deux nombres (ou centre) semble facultative, néanmoins elle reste bien pratique ! Exemple pour calculer la moyenne de deux valeurs : #include <Math.h> int main() { Math::center (125, 85.3); //la fonction retourne la valeur 105.15 return 0; } Dans l'exemple ci-dessus la fonction statique center prend en paramètre les nombres 125 et 85.3, elle retourne donc la moyenne de ces deux nombre, soit 105.15. L'ordre des nombres indiqués en paramètre à la fonction statique center peuvent être permutés indifféremment. La puissance d'un nombre est le résultat de la multiplication répétée (via un exposant) de ce nombre avec lui même. Exemple pour calculer la puissance d'un nombre : #include <Math.h> int main() { Math::pow (5, 4); //la fonction retourne la valeur 625 return 0; } Ici le nombre 5 représente le nombre à multiplier avec lui-même, 4 est l'exposant, soit le calcul 5 x 5 x 5 x 5 = 625. Le nombre à multiplier avec lui même ainsi que l'exposant peuvent être positifs, nuls, ou négatifs. Le résultat de la racine carrée d'un nombre, est un nombre qui, multiplié par lui-même, donne le radicande (soit le nombre entré en paramètre à la fonction). Exemple pour calculer la racine carrée d'un nombre : #include <Math.h> int main() { Math::sqrt (25); //la fonction retourne la valeur 5 return 0; } Ci-dessus le nombre 25 est le résultat du nombre 5 multiplié par lui-même (5 x 5 = 25), la fonction retourne donc le nombre 5. La factorielle d'un nombre est le produit des nombres entiers strictement positifs inférieurs ou égaux à ce nombre. Cet algèbre permet d'effectuer des approches du nombre Pi, de faire converger des équations pour obtenir le sinus, le cosinus, etc... Exemple pour calculer la factorielle d'un nombre : #include <Math.h> int main() { Math::fact (7); //la fonction retourne la valeur 5040 return 0; } Dans l'exemple ci-dessus la factorielle du nombre 7 entré en paramètre donne le résultat 5040, car 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 = 5040. Par convention la factorielle du nombre 0 est 1. Les fonctions trigonométriques élémentaires comme sinus, cosinus, ou encore tangente s'avèrent utiles dans le domaine des automates programmables afin d'obtenir la position angulaire d'un robot, calculer la trajectoire d'un objet à l'aide d'un gyroscope, etc... Attention, mes fonctions trigonométriques sin (sinus), cos (cosinus), et tan (tangente) prennent en entrée un angle en degrés (et non pas en radians). Exemple pour calculer le sinus d'un angle : #include <Math.h> int main() { Math::sin (30); //la fonction retourne la valeur 0.5 return 0; } Dans cet exemple le sinus de l'angle 30 degrés est 0.5. Exemple pour calculer le cosinus d'un angle : #include <Math.h> int main() { Math::cos (45); //la fonction retourne la valeur ≈ 0.707 (valeur arrondie) return 0; } Dans l'exemple ci-dessus, le cosinus de l'angle 45 degrés est ≈ 0.707 (valeur arrondie). Exemple pour calculer la tangente d'un angle : #include <Math.h> int main() { Math::tan (45); //la fonction retourne la valeur 1 return 0; } Ci-dessus la tangente de l'angle 45 degrés est 1. En complément des fonctions sinus, cosinus, et tangente, il est fort utile de disposer des fonctions réciproques comme arc sinus, arc cosinus, arc tangente, et arc tangente 2. Attention, mes fonctions trigonométriques arcsin (arc sinus), arccos (arc cosinus), arctan (arc tangente), et arctan2 (arc tangente à partir de deux arguments x et y) retournent en sortie un angle en degrés (et non pas en radians). Exemple pour trouver l'angle à partir d'un sinus : #include <Math.h> int main() { Math::arcsin (0.5); //la fonction retourne la valeur 30 return 0; } Dans l'exemple ci-dessus, un sinus de 0.5 correspond à un angle de 30 degrés. Exemple pour trouver l'angle à partir d'un cosinus : #include <Math.h> int main() { Math::arccos (0.707); //la fonction retourne la valeur ≈ 45.008 (valeur arrondie) return 0; } Avec la fonction statique arccos, on trouve qu'un cosinus de 0.707 correspond à un angle de ≈ 45.008 degrés (valeur arrondie). Exemple pour trouver l'angle à partir d'une tangente : #include <Math.h> int main() { Math::arctan (1); //la fonction retourne la valeur 45 return 0; } Une tangente de 1 correspond à un angle de 45 degrés. Exemple pour trouver l'angle à partir de la tangente de deux arguments x et y (ou fonction circulaire réciproque à quatre cadrans) : #include <Math.h> int main() { Math::arctan2 (0.5, 0.5); //la fonction retourne la valeur 45 return 0; } Dans l'exemple ci-dessus, une tangente à partir de deux arguments x égal à 0.5 et y égal à 0.5 correspond à un angle de 45 degrés. La classe Math simplifie grandement la mise en œuvre de nombreuses applications logicielles, vous pouvez combiner les fonctions entres-elles et obtenir des résultats très élaborés. Récapitulatif des fonctions de cette classe : static signed long floor (const float VALUE); static signed long round (const float VALUE); static signed long ceil (const float VALUE); static float curve (const float POSITION_START, const float POSITION_CURRENT, const float POSITION_END, const float INTERPOLATION_START, const float INTERPOLATION_END, const float CURVE); static float wurve (const float POSITION_START, const float POSITION_CURRENT, const float POSITION_END, const float INTERPOLATION_START, const float INTERPOLATION_CENTER, const float INTERPOLATION_END, const float CURVE_START, const float CURVE_END); static float range (const float RANGE_START, const float VALUE_CURRENT, const float RANGE_END); static float center (const float VALUE_START, const float VALUE_END); static float pow (const float NUMBER, const unsigned long EXPONENT); static float sqrt (const float RADICAND); static unsigned long long fact (const unsigned long INTEGER); static float sin (const float ANGLE); static float cos (const float ANGLE); static float tan (const float ANGLE); static float arcsin (const float SINUS); static float arccos (const float COSINUS); static float arctan (const float TANGENT); static float arctan2 (const float X, const float Y);